Achtergrond
Stabiele chaos in het zonnestelsel

George Beekman

De planeten in het zonnestelsel draaien al zo'n vijf miljard jaar trouw hun banen rond de zon. Maar geenszins met de voorspelbaarheid van een klok.

Ons planetenstelsel is, wanneer we niet kijken naar wat zich op de planeten afspeelt, een toonbeeld van harmonie. De aarde en de andere planeten beschrijven in alle rust hun banen om de zon en blijken dat al zo'n vijf miljard jaar te doen. Het zonnestelsel lijkt dus een zeer stabiel systeem, maar vervelend genoeg is dat niet echt te bewijzen. Integendeel: recente computerberekeningen laten zelfs zien dat het zonnestelsel vele kenmerken van een chaotisch systeem heeft. Hoe valt dat met elkaar te rijmen?

De vraag omtrent de stabiliteit van het planetenstelsel is een van de oudste problemen in de hemelmechanica - de wetenschap die zich bezig houdt met de bewegingen van de hemellichamen. De vraag is dan ook een belangrijke stimulans geweest voor het ontwikkelen van wiskundige technieken om de gecompliceerde wisselwerkingen tussen de planeten te berekenen. Aanvankelijk was deze storingsrekening een zeer tijdrovend werkje, aanvankelijk met ganzeveer, later met pen en papier. Pas na de komst van de computer werd alles een stuk gemakkelijker.

Iedere planeet wordt niet alleen aangetrokken door de zon, maar ook (zij het in veel geringere mate) door de andere planeten. Hierdoor wordt hun beweging "gestoord' en treden er in de loop der tijden veranderingen op in zowel de vorm als oriëntatie van hun elliptische banen. Een planeet staat op den duur niet meer op die plaats waar hij zich zou bevinden wanneer hij de enige planeet was.



De Franse wiskundigen Lagrange en Laplace ontdekten twee eeuwen geleden dat een groot aantal storingen in de banen van planeten niet voor een voortgaande verschuiving van de baan in één richting zorgen. De banen vertonen slechts kleine veranderingen rond een gemiddelde waarde,
met perioden van honderden jaren, en daardoor zou de stabiliteit van het zonnestelsel er niet door in gevaar komen. Latere onderzoekers vonden perioden tot miljoenen jaren, maar toch kon niet echt worden bewezen dat het zonnestelselsel ook in een zéér verre toekomst stabiel blijft.



Tegenwoordig gebruikt men in de hemelmechanica vooral numerieke rekenmethoden. Hierbij worden de bewegingen van de planeten stap voor stap berekend, vele en vele omlopen lang. In de jaren vijftig werd op dit gebied baanbrekend werk verricht door onder andere de Amerikaans-Nederlandse astronoom Dirk Brouwer. In 1951 berekende hij de beweging van de buitenplaneten tot 400 jaar in de toekomst. In 1973 kwam men met de - toen reusachtige - IBM 7030-computer tot een miljoen jaar, maar pas door de ontwikkeling van snellere computers in de jaren tachtig konden grote sprongen voorwaarts worden gemaakt.



Pluto

Vier jaar geleden leidde dit rekenwerk tot de eerste van een reeks opmerkelijke ontdekkingen. Twee onderzoekers van het Massachusetts Institute of Technology, G.J. Sussman en J. Wisdom, hadden met behulp van hun computer, de Digital Orrery, de beweging van de vijf buitenplaneten tot 845 miljoen jaar in de toekomst berekend. Daaruit bleek dat de beweging van Pluto, de buitenste planeet, al na twintig miljoen jaar niet meer goed te voorspellen is en dat hij zich over een paar honderd miljoen jaar in feite in ieder punt van zijn baan zou kunnen bevinden. De beweging van Pluto is chaotisch.



Het kenmerk van een chaotische beweging is dat er, ook als men uitgaat van vrijwel identieke beginsituaties, na verloop van tijd verschillen ontstaan die niet op een lineaire maar op een exponentiële manier groter worden. Na een bepaalde tijdsspanne kan de planeet zich op elk punt van zijn baan bevinden en is hij dus onvoorspelbaar geworden. Een bekend voorbeeld van een chaotisch systeem is het weer: het is onmogelijk om uit de situatie van nu met enige zekerheid de weerssituatie over bijvoorbeeld een maand af te leiden.



Met de ontdekking van de twee MIT-ers kwam er een kleine revolutie in de hemelmechanica op gang. Al een jaar later toonde J. Laskar, van het Bureau des Longitudes in Parijs, aan dat ook de binnenplaneten op den duur chaotisch gedrag vertonen. Laskar's computer had de situatie tot 200 miljoen jaar in de toekomst berekend, waarbij ook rekening was gehouden met de invloed van de maan en zelfs met de geringe effecten van de relativiteitstheorie.



De beweging van de binnenplaneten, inclusief die van de aarde, bleek na enkele tientallen miljoenen jaren niet meer te voorspellen. Een afwijking van een miljardste meeteenheid in de begincondities van een planeet leverde na 100 miljoen jaar een onzekerheid op van 100%. Deze ontdekking was niet alleen van belang voor astronomen, maar ook voor klimatologen. Die maken immers soms gebruik van periodieke veranderingen in de aardbaan bij hun onderzoek naar het klimaat in het verre verleden (zoals het optreden van ijstijden).

Laskar had een vereenvoudigde rekenmethode gebruikt, die nog enige ruimte voor twijfel liet. Maar ook die twijfel is nu verdwenen.



Eerdergenoemde MIT-onderzoekers hebben nu de beweging van alle planeten zonder vereenvoudigingen berekend over een periode van honderd miljoen jaar. Deze berekeningen wijzen er op dat de ontwikkeling van het zonnestelsel als geheel chaotisch is. Ook als de beginposities van de planeten slechts enkele millimeters verschillen, zijn die verschillen na enkele miljoenen jaren al zo groot geworden dat de berekening geen enkele voorspellende waarde meer heeft. Hoe nauwkeurig de huidige beweging van een planeet ook bekend is, zijn posities in een verre toekomst kunnen niet nauwkeurig worden bepaald (Science 257, p. 56).



Het uitvoeren van zulke berekeningen is overigens ook met computers geen sinecure. Het gaat om de onderlinge effecten van negen planeten tijdens miljoenen omlopen om de zon. Die effecten moeten stap voor stap, maand na maand, week na week, of dag na dag, worden berekend. Hoe kleiner de stap, des te nauwkeuriger het resultaat, maar des te langer duurt de berekening.



De MIT-onderzoekers gebruikten een speciaal hiervoor door MIT en Hewlett Packard gebouwde supercomputer, Toolkit geheten. Elk van de acht processoren van deze computer is even snel als een Cray 1 supercomputer en een door Wisdom ontwikkelde rekentechniek maakt die snelheid nog eens tienmaal zo groot. Toch moet de computer voor iedere run van honderd miljoen jaar nog ruim vijf dagen rekenen.



Schommel

Waardoor wordt die chaos in het zonnestelsel nu veroorzaakt; wat zijn de strange attractors? Laskar meent dat de belangrijkste bron een ingewikkeld spel van onderlinge, periodiek in sterkte wisselende aantrekkingskrachten tussen de aarde en Mars is. Zulke "resonanties' veroorzaken chaos op de manier waarop men een schommel opslingert: door steeds op de juiste momenten een duw te geven (Icarus 95, p. 148). Sussman en Wisdom denken echter dat de oorzaak niet alleen in het binnendeel van het zonnestelsel ligt, maar ook in het gebied van de reuzenplaneten.



In feite was op deze onvoorspelbaarheid al gewezen door de Franse wiskundige Henri Poincaré, nu precies honderd jaar geleden. In zijn Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste liet hij zien dat men in de hemelmechanica nooit een formule zal kunnen opstellen die de baan van een planeet exact, dus voor onbeperkt lange tijd en met onbeperkt grote nauwkeurigheid, kan beschrijven. Dit lukt nog wel bij twee hemellichamen, maar niet bij drie of meer. Het drie- of meerlichamenprobleem is analytisch niet oplosbaar. En nu blijkt dat men ook bij een numerieke benadering vastloopt.



Ook bij de kleinere objecten in het zonnestelsel, zoals planetoïden en satellieten, is nu chaotisch gedrag aangetoond.
Dit leidt hier soms tot onomkeerbare resultaten. Satellieten kunnen er door in een wilde tuimelbeweging worden gebracht (zoals Saturnus' maan Hyperion) en planetoïden of fragmenten daarvan kunnen voorgoed uit het zonnestelsel worden geslingerd of in een zodanige baan komen dat ze tegen de aarde of een andere planeet kunnen botsen.

Ons planetenstelsel is dus chaotisch, maar valt het op den duur ook uit elkaar? Kunnen de planeten gaan tuimelen en tollen, zoals planetoïden en satellieten?



Het antwoord ligt misschien verscholen in het onderzoek dat Anna Nobili, van de universiteit van Padua, met haar Parijse collega Andrea Milani heeft verricht. Nobili merkte al in 1989 op dat "zich nu de merkwaardige situatie voordoet dat, terwijl we steeds beter in staat zijn om chaos in de beweging van echte objecten te detecteren, de relevantie van deze chaos moeilijker te beoordelen wordt'. Met de ontwikkeling van snellere computers duikt overal in het zonnestel chaos op, maar het is nog niet duidelijk wat voor rol die nu precies speelt.



Nobili en Milani hebben de beweging van planetoïde Helga berekend tot zeven miljoen jaar in de toekomst. Helga is een rotsblok van veertig kilometer diameter dat in 6,9 jaar om de zon draait. De positie van Helga blijkt al na 7000 jaar niet meer goed te voorspellen, omdat haar gedrag dan chaotisch wordt. Maar toch verandert de gemiddelde baan zelf gedurende de computersimulatie van zeven miljoen jaar weinig: hij blijft in hetzelfde gebied in het zonnestelsel liggen, dus lijkt hij net als de banen van planeten stabiel.



Volgens de twee astronomen wordt de chaos of onstabiliteit veroorzaakt door een baanresonantie met Jupiter: 7 omlopen van Jupiter duren even lang als 12 omlopen van Helga. Daardoor wordt er periodiek zo aan de planetoïde getrokken dat er onberekenbaar grote storingen ontstaan. Maar twee andere baanresonanties tussen Jupiter en Helga hebben juist tot gevolg dat de baan van de planetoïde gestabiliseerd wordt. Helga kan nooit dichter dan 200 miljoen kilometer bij Jupiter komen en daardoor kan Jupiter Helga nooit uit haar baan trekken (Nature 357, p. 569).



Stabiele chaos

Behalve chaos is er dus ook zoiets als stabiele chaos. Een systeem kan chaotisch zijn en toch stabiel wanneer de instabiliteiten een bepaalde waarde niet te boven gaan. Men kan het vergelijken met de beweging van een rouletteballetje: chaotisch maar toch altijd in de buurt van het roulettewiel.



Helga is niet het enige object in het zonnestelsel dat stabiele chaos vertoont. De banen van Pluto en Neptunus zijn zodanig "gekoppeld' dat deze planeten nooit dicht bij elkaar kunnen komen en elkaar niet uit hun baan kunnen stoten. Ook bij de planeten dichter bij de zon komen zulke "veiligheidskoppelingen' voor. Hoewel de beweging van deze planeten al op een tijdschaal van een paar miljoen jaar chaotische instabiliteiten vertoont, blijven hun banen over veel langere tijdschalen stabiel.



In één opzicht is het bij Helga gevonden resultaat echter nieuw. Bij de planeten is de periode waarover de baanberekening zich tot nu toe uitstrekte een factor vijftig maal zo groot als de periode waarna chaos wordt gesignaleerd. Bij Helga gaat het om een factor 1000. Dit geeft de twee astronomen het vertrouwen om te kunnen stellen dat de baan van Helga echt stabiel is, en dat stabiele chaos vrij algemeen in het zonnestelsel zal voorkomen.



Ook bij de planeten heeft het verschijnsel chaos waarschijnlijk een andere betekenis dan we gewend zijn. De planeten dwalen wel wat van hun gemiddelde baan af en hun posities zijn op den duur niet meer te voorspellen, maar ze blijven rustig in hun eigen "territorium' om de zon draaien. Planeetbanen gaan elkaar niet opeens kruisen, planeten vallen niet op de zon en worden evenmin uit het zonnestelsel geslingerd. Bij planeten lijkt het begrip "chaos' alleen op de begrensde voorspelbaarheid van hun beweging te slaan.



Toch bestrijkt men met baanberekeningen van honderden miljoenen jaren nog maar een fractie van de leeftijd van vijf miljard jaar die het zonnestelsel nu heeft. Het echte bewijs voor de stabiliteit van het zonnestelsel is nog steeds niet geleverd. Misschien kan dit pas wanneer de veranderingen van planeetbanen over hun volle vijf miljard jaar door nog snellere supercomputers worden berekend. Dat zou men de "Heilige Graal' in de huidige hemelmechanica mogen noemen: in de oude wetenschap die momenteel weer springlevend is.

(bijschriften illustraties)



Pierre Simon de Laplace probeerde twee eeuwen geleden aan te tonen dat het zonnestelsel een stabiel systeem is en dat toekomst en verleden ervan geheel uit de kennis van de huidige situatie kunnen worden afgeleid. Henri Poincaré wees er echter in 1892 op dat de beweging van een planeet bij aanwezigheid van andere planeten nooit met 100% zekerheid kan worden voorspeld.



Hyperion gezien door de Voyager-2. Deze satelliet meet 350 bij 240 bij 200 kilometer en draait in 21 dagen om Saturnus. Zijn rotatietijd en de richting van zijn rotatie-as zijn van omloop op omloop verschillend. De satelliet tuimelt alle kanten uit: een voorbeeld van (onstabiele) chaotische rotatie.



Twee fragmenten van de meteoriet die zich op 7 april 1990 door het dak van een huis in Glanerbrug boorde. Meteorieten zijn fragmenten van planetoïden die tussen de banen van Mars en Jupiter om de zon draaien en op een bepaald, onvoorspelbaar moment in een baan richting aarde worden gestuurd. Door chaotisch gedrag in het zonnestelsel worden vele kleine objecten tot dicht bij de aardbaan gebracht.



Het zonnestelsel volgens Eise Eisinga, omstreeks 1780. Wat eens een nauwkeurig hemels uurwerk leek, blijkt nu een grote mate van onvoorspelbaarheid te bezitten, maar toch netjes bij elkaar te blijven.







Datum: 27-08-1992

Sectie: Wetenschap en Onderwijs

Pagina: 1

Onderschrift: Foto's: Twee fragmenten van de meteoriet die zich op 7 april 1990 door het dak van een huis in Glanerbrug boorde. Meteorieten zijn fragmenten van planetoden die tussen de banen van Mars en Jupiter om de zon draaien en op een bepaald, onvoorspelbaar moment in een baan richting aarde worden gestuurd. Door chaotisch gedrag in het zonnestelsel worden vele kleine objecten tot dicht bij de aardbaan gebracht.; Het zonnestelsel volgens Eise Eisinga, omstreeks 1780. Wat eens een nauwkeurig hemels uurwerk leek, blijkt nu een grote mate van onvoorspelbaarheid te bezitten, maar toch netjes bij elkaar te blijven.; Hyperion gezien door de Voyager-2. Deze satelliet meet 350 bij 240 bij 200 km en draait in 21 dagen om Saturnus. Zijn rotatietijd en richting van zijn rotatieas zijn van omloop op omloop verschillend. De satelliet tuimelt alle kanten uit: een voorbeeld van chaotische rotatie.

Trefwoord: Astronomie en ruimtevaart; Wetenschap en Techniek; Exacte Wetenschappen

Op dit artikel rust auteursrecht van NRC Handelsblad BV, respectievelijk van de oorspronkelijke auteur.